חקירת מנה 2חקירת פונקציות 571 · שיעור 53

חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571

שיעור 53: חקירת מנה 2

פונקצית מנה

1🔷 סעיף א: חקירה

2🟢 סעיף ב: סקיצה

3🔵 סעיף ג

4🟣 סעיף ד

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 3x²x² + x − 2 .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)

ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

ג. האם גרף הפונקציה f(x) חותך את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה? אם הוא חותך, מצא את שיעורי נקודת החיתוך

ד. נתון: לפונקציה g(x) = f(x) + c ( c הוא פרמטר) יש אסימפטוטה אופקית y = 5 . מצא את c .

🔷 סעיף א: חקירה

סעיף א(1): מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)

המכנה שונה מ־0. מפרקים לטרינום:

x² + x − 2 ≠ 0

(x + 2)(x − 1) ≠ 0

✅ x ≠ −2 , x ≠ 1

🔷 סעיף א: חקירה

סעיף א(2): מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים

אנכיות: הערכים מחוץ לתחום ההגדרה. בודקים שהם לא מאפסים את המונה 3x² : לא מאפסים ← x = 1 , x = −2

אופקית: החזקה הכי גבוהה במונה ובמכנה שווה ( x² ), אז מחלקים את המקדמים:

y = 31 = 3

✅ x = 1 , x = −2 , y = 3

🔷 סעיף א: חקירה

סעיף א(3): מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים

עם ציר y ( x = 0 ): f(0) = 0−2 = 0

עם ציר x ( y = 0 ): 3x² = 0 ← x = 0

יצאה אותה נקודה פעמיים

✅ נקודת החיתוך: (0 , 0)

🔷 סעיף א: חקירה

סעיף א(4): מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן

נגזרת מנה:

f'(x) =

6x(x²+x−2) − (2x+1)·3x²(x²+x−2)²

משווים ל־0, מכפילים במכנה ופותחים:

6x³ + 6x² − 12x

− 6x³ − 3x² = 0

3x² − 12x = 0 / :3

x² − 4x = 0

מוציאים גורם משותף:

x(x − 4) = 0

x = 0 , x = 4

🔷 סעיף א: חקירה · המשך

x = 0 , x = 4

מציבים בפונקציה המקורית:

f(0) = 0

f(4) = 3·1616 + 4 − 2

= 4818 = 223

בטבלה גם האסימפטוטות −2 , 1 . מציבים ב־x² − 4x :

x = −1 ← 5 > 0 עולה

x = 12 ← −134 < 0 יורדת

x = 2 ← −4 < 0 יורדת

x = 5 ← 5 > 0 עולה

🔷 סעיף א: חקירה · המשך

x = 5 ← 5 > 0 עולה

✅

(0 , 0) מקסימום

(4 , 223) מינימום

🔷 סעיף א: חקירה

סעיף א(5): מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)

מציבים גם לפני האסימפטוטה −2 : x = −3 ← 9 + 12 > 0 עולה

✅

עולה: x < −2 , −2 < x < 0 , x > 4

יורדת: 0 < x < 1 , 1 < x < 4

🟢 סעיף ב: סקיצה

סעיף ב: סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

שתי אסימפטוטות אנכיות מחלקות את הגרף לשלושה חלקים, וצריך לצייר בכל אחד מהם

מימין ל־1: יורד מלמעלה עד המינימום (4 , 223) , ואז עולה ומתקרב ל־y = 3

בין −2 ל־1: עולה מלמטה עד המקסימום (0 , 0) , ואז יורד

משמאל ל־−2: לפי הטבלה הפונקציה עולה, ואין שם נקודת חיתוך, אז הגרף מתחיל ליד y = 3 ועולה לאורך האסימפטוטה x = −2

🔵 סעיף ג

סעיף ג: האם גרף הפונקציה f(x) חותך את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה? אם הוא חותך, מצא את שיעורי נקודת החיתוך

בסרטוט רואים שכן. משווים את הפונקציה ל־y = 3 :

3x²x² + x − 2 = 3

כפל בהצלבה:

3x² = 3(x² + x − 2) / :3

x² = x² + x − 2

0 = x − 2

x = 2

✅ כן, (2 , 3)

🟣 סעיף ד

סעיף ד: נתון: לפונקציה g(x) = f(x) + c ( c הוא פרמטר) יש אסימפטוטה אופקית y = 5 . מצא את c .

הוספת c מזיזה את כל הגרף למעלה ב־c , וגם את האסימפטוטה האופקית

האסימפטוטה עלתה מ־y = 3 ל־y = 5 :

c = 5 − 3

✅ c = 2

📌 לזכור

💡 כשיש שתי אסימפטוטות אנכיות, הגרף מתחלק לשלושה חלקים, וצריך לשרטט בכל אחד. ובטבלה תמיד שמים גם את נקודות הקיצון וגם את האסימפטוטות האנכיות.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא